PPG - Matemática Pura e Aplicada

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    Reticulados q-ários
    (Universidade Federal de São Paulo, 2024-03-22) Gonçalves, Lucas Eduardo Nogueira [UNIFESP]; Jorge, Grasiele Cristiane [UNIFESP]; http://lattes.cnpq.br/6312308130945210; http://lattes.cnpq.br/7181290636957844
    Um reticulado em R^n é caracterizado como um conjunto discreto de pontos, obtido através de todas as combinações lineares inteiras de um conjunto de vetores linearmente independentes sobre R. Problemas envolvendo reticulados têm intrigado matemáticos desde, pelo menos, o século XVII. A partir da década de 1970, reticulados encontraram aplicação na Teoria dos Códigos Corretores de Erros, que busca por sistemas de comunicações eficientes em canais ruidosos. Na década de 1990, a criptografia baseada em reticulados emergiu como uma nova abordagem para construções de sistemas criptográficos e, desde então, ganhou destaque sob o nome de Criptografia Pós-Quântica. A proposta central desta dissertação é realizar um estudo de famílias de reticulados obtidos através de códigos corretores de erros contidos em Z_q^n. Para isso, exploraremos as Construções A, B, C, C^{*}, D' e D\. Tais construções associam códigos a constelações de sinais em R^n, que sob certas condições são reticulados.
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    Análise de estabilidade de um sistema hamiltoniano perturbado
    (Universidade Federal de São Paulo, 2023-11-10) Gómez, José Jacinto Burbano [UNIFESP]; Moraes, Rodolpho Vilhena de [UNIFESP]; http://lattes.cnpq.br/7740917144757410; http://lattes.cnpq.br/2386226198001815
    O objetivo deste trabalho foi analisar a existência, a unicidade e a estabilidade segundo Lyapunov da solução de um sistema Hamiltoniano. O Hamiltoniano escolhido refere-se a um clássico problema de Astrodinâmica qual seja o problema do movimento orbital de um satélite artificial da Terra considerando perturbações envolvendo os coeficientes J2 e J3 do potencial gravitacional terrestre. As equações planetárias de Lagrange são colocadas em termos das variáveis de Delaunay. Utilizando o teorema de Lyapunov, inicialmente é analisado o sistema considerando perturbações apenas envolvendo alguns termos devido ao J2. A seguir foi analisada a estabilidade do sistema incluindo alguns termos do potencial fatorados por J3.
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    Ladrilhamentos reticulados de Z^n por esferas de Lee
    (Universidade Federal de São Paulo, 2024-02-15) Ribeiro, Roberta Alves do Nascimento [UNIFESP]; Jorge, Grasiele Cristiane [UNIFESP]; http://lattes.cnpq.br/6312308130945210; http://lattes.cnpq.br/7182535594249914
    O objetivo deste trabalho é o estudo de ladrilhamentos reticulados de Z^n por esferas de Lee. Investigaremos uma nova abordagem algébrica sobre esse problema, que é um caso especial da conjectura de Golomb–Welch. Utilizando esse novo método, é possível demonstrar a não existência de ladrilhamentos reticulados de Z^n por esferas de Lee com o mesmo raio r = 2 para infinitos valores da dimensão n. Tal método utiliza conceitos como os anéis de grupo e o grupo de caracteres, que conjuntamente oferecem um ambiente propício para uma nova abordagem utilizando um resultado conhecido acerca dos ladrilhamentos reticulados. Neste estudo, damos ênfase a dois artigos: ``Perfect codes in the Lee metric and the packing of polyominoes'', de Solomon W. Golomb e Lloyd R. Welch, que apresenta a conjectura e enuncia alguns fatos envolvendo ladrilhamentos por esferas de Lee e ``On the nonexistence of lattice tilings of Z^nby Lee spheres'', de Tao Zhang e Yue Zhou, que soluciona alguns casos particulares da conjectura para r=2.
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    Invariantes, conjugação e Kneading Theory para aplicações unimodais
    (Universidade Federal de São Paulo, 2022-12-07) Ferreira, Thaís Helena Oliveira [UNIFESP]; Cirilo, Patricia [UNIFESP]; http://lattes.cnpq.br/8477080812857959; http://lattes.cnpq.br/3127130147697935
    Com o objetivo de estudar a equivalência de aplicações unimodais na reta, este trabalho apresenta uma discussão sobre invariantes que são utilizados como base para classificação de objetos matemáticos em diferentes contextos, com ênfase em sistemas dinâmicos, onde essa classificação é feita através da conjugação topológica. Seguindo a mesma discussão, é feito um estudo aprofundado sobre a dinâmica do círculo e como o número de rotação é utilizado para verificar a equivalência de dois homeomorfismos. O estudo se finaliza com a introdução da Kneading Theory e a demonstração do teorema principal, que mostra a Kneading Sequence como o invariante em questão para equivalência de duas aplicações unimodais do intervalo.
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    Physical layer security in wireless communication
    (Universidade Federal de São Paulo, 2023-08-28) Pereira, Júlia Wotzasek [UNIFESP]; Jorge, Grasiele Cristiane [UNIFESP]; Bollauf, Maiara Francine; http://lattes.cnpq.br/6870878201981274; http://lattes.cnpq.br/6312308130945210; http://lattes.cnpq.br/3489878763816640
    Essa dissertação visa analisar o uso de reticulados para modelar métodos de segurança da informação na camada física em comunicações wireless. Em uma comunicação wireless é possível que, além do receptor, um ouvinte indesejado possa ter acesso à mensagem enviada. O objetivo da segurança na camada física é maximizar a confusão de terceiros e impedir que estes sejam capazes de interpretar a mensagem. Shannon estabeleceu, em 1948, que a comunicação eficiente pode ser feita com segurança e confiança em um canal ruidoso.Wyner definiu em seu trabalho publicado em 1975 o canal wiretap (canal com escuta), que é uma boa modelagem para comunicação wireless. Métodos utilizando reticulados para prover a segurança na camada física em um canal wiretap gaussiano são apresentados por Forutan e Fischer (2015), Oggier, Solé e Belfiore (2014), e Nazer and Gastpar (2011). Neste trabalho apresentamos as principais definições de reticulados necessárias. Apresentamos também o processo de comunicação e o canal Gaussiano, além do modelo OSI. Estabelecemos a estrutura da comunicação wireless em canal wiretap com o uso de reticulados. Ilustramos conceitos apresentados por meio de exemplos, além de discutir ataques passivos ao canal, por meio da combinação de métodos proposta por Forutan e Fischer.