INTRODUÇÃO À TEORIA ANALÍTICA DOS NÚMEROS
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Data
2023-01-19
Autores
Graves, Julio Cesar
Orientadores
Silva, Robson Oliveira da
Tipo
Trabalho de conclusão de curso de graduação
Título da Revista
ISSN da Revista
Título de Volume
Resumo
Esse trabalho trata de noções fundamentais de Teoria Analítica dos Números, cobrindo
tópicos como funções aritmética e algumas propriedades, exemplos de funções aritméticas
relevantes para a teoria dos números, além de funções especiais como zeta de Riemann, gama
e do número harmônico. No trabalho, foram enunciados teoremas e identidades relevantes
para a análise de comportamento assintótico de funções aritméticas como a Identidade de
Abel e Soma de Euler, usando dos conceitos da constante e Euler-Masheroni generalizada
e das notações Big-O. Usando propriedades de grupos, o conceito de Caráter é introduzido
com suas propriedades. Para funções aritméticas periódicas, enunciamos o teorema da
interpolação de Lagrange, as expansões finitas de Fourier, as somas de Ramanujan e as somas
de Gauss. Na sequência, tratamos das séries de Dirichlet, seus semiplanos de convergência,
sua forma exponencial e valor médio. Entao discutimos as funções L de Dirichlet e zeta
de Hurwitz com objetivo de estender analiticamente a função zeta de Riemann, culminando
nos números de Bernoulli. Por fim, introduzimos uma forma não convencional de definir
derivação em funções aritméticas, denominada derivação discreta. Nesse tópico, propomos
métodos para encontrar fórmulas fechadas para somas finitas e convergência para limites
complicados, além de definir somas indefinidas e uma notação diferente para potências. Tal
notação nos permitiu usar propriedades de derivação similares as do cálculo convencional,
mas aplicados a somatórios, parecendo promissor.
In this work, the authors present a comprehensive introduction to the fundamental concepts of number theory. The topics covered include arithmetic functions and their interesting properties, examples of arithmetic functions relevant to number theory, and special functions such as Riemann’s zeta, the gamma function, and the harmonic number. The authors then delve into a set of theorems and identities that allow the analysis of the asymptotic behavior of arithmetic functions, including Abel’s Identity and Euler’s Sum, using the concepts of generalized Euler-Masheroni’s constant and Big-O notations. They also introduce the concept of Characters, including their properties, by taking advantage of group properties. For periodic arithmetic functions, the authors present Lagrange’s interpolation theorem, finite Fourier expansions, and the Ramanujan and Gauss sums. Additionally, they introduce Dirichlet’s series, covering topics such as the semi-plan of convergence, exponential formulation, and mean value. The authors then introduce Hurwitz’s zeta and Dirichlet L functions, driving the definition of Bernoulli’s numbers and polynomials, to cover the analytical extension of Riemann’s zeta. Finally, the authors present an unconventional way of defining derivation in arithmetic functions, called discrete derivation. In this topic, they propose methods to find closed formulas for finite and infinite sums, evaluate complicated limits, and introduce indefinite sums and a different notation for powers. This notation shows promising properties, creating a similarity to conventional calculus, but applied to summations.
In this work, the authors present a comprehensive introduction to the fundamental concepts of number theory. The topics covered include arithmetic functions and their interesting properties, examples of arithmetic functions relevant to number theory, and special functions such as Riemann’s zeta, the gamma function, and the harmonic number. The authors then delve into a set of theorems and identities that allow the analysis of the asymptotic behavior of arithmetic functions, including Abel’s Identity and Euler’s Sum, using the concepts of generalized Euler-Masheroni’s constant and Big-O notations. They also introduce the concept of Characters, including their properties, by taking advantage of group properties. For periodic arithmetic functions, the authors present Lagrange’s interpolation theorem, finite Fourier expansions, and the Ramanujan and Gauss sums. Additionally, they introduce Dirichlet’s series, covering topics such as the semi-plan of convergence, exponential formulation, and mean value. The authors then introduce Hurwitz’s zeta and Dirichlet L functions, driving the definition of Bernoulli’s numbers and polynomials, to cover the analytical extension of Riemann’s zeta. Finally, the authors present an unconventional way of defining derivation in arithmetic functions, called discrete derivation. In this topic, they propose methods to find closed formulas for finite and infinite sums, evaluate complicated limits, and introduce indefinite sums and a different notation for powers. This notation shows promising properties, creating a similarity to conventional calculus, but applied to summations.
Descrição
Citação
GRAVES, Julio Cesar. Introdução à teoria analítica dos números. 2023. 145f.. Dissertação (Bacharel) – Universidade Federal de São Paulo, Instituto de Ciência e Tecnologia. Programa de Graduação em Matemática Computacional, São José dos Campos, 2023..