A mathematical framework for image segmentation evaluation

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Data
2020-06-30
Autores
Ribeiro, Pedro Felipe De Oliveira [UNIFESP]
Orientadores
Cappabianco, Fabio Augusto Menocci [UNIFESP]
Tipo
Dissertação de mestrado
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Resumo
The analysis of similarity has interested the scientific community from the early 1900’s, with the pioneering work of Jaccard, to our very day. Many methods and algorithms for improving the correct quantification of similarity are presented by the community every year, in a clear attempt to better understand its behavior. Interestingly, quite fewer papers attempt to develop a rigorous mathematical analysis of similarity. This work goes in the opposite direction, as it aims to provide the community with a very strong mathematical framework to the analysis of similarity. With developments that range from functional analysis and linear spaces to applied statistics, this study presents new results to further the understanding of similarity with a very strong quantitative grasp. We present a complete similarity coefficient generator, that generalizes many very well known similarity coefficients (such as the Dice and the Cosine similarity), alongside with a complete metric space of similarity, with a p-norm defined, and an induced metric. From this distance function we construct a coefficient capable of quantifying the performance of different similarity coefficients when applied to the same similarity problem. Therefore, the presented coefficient is also capable of ranking distinct similarity coefficients according to their adequacy to a particular similarity problem. We also present a function form of the statistical measures of TP, FP, and FP, and prove that exists a relation between similarity and the results of Fourier processes. Therefore, we show that a bridge exists between the fields of similarity on image segmentation and classical analysis.
A análise de similaridade tem interessado aos cientistas desde o início do anos de 1900, com o trabalho pioneiro de Jaccard, até os dias atuais. Muitos métodos e algoritmos para melhorar a maneira de quantificar similaridade são propostos pela comunidade científica todos os anos, em um claro esforço a fim de entender melhor seu comportamento. É interessante notar que, no entanto, o número de artigos interessados em desenvolver uma análise matematicamente rigorosa de similaridade é muito menor. Este estudo vai na direção oposta, uma vez que pretende disponibilizar para a comunidade um framework matemático bem desenvolvido, para a análise de similaridade. Com desenvolvimentos que envolvem desde análise funcional e espaços lineares, até estatística aplicada, este estudo apresenta novos resultados que ajudarão a ampliar o entendimento de similaridade, com um forte apelo quantitativo. Apresentamos um gerador de coeficientes de similaridade, capaz de generalizar muitos coeficientes de similaridade conhecidos na Literatura (comos os coeficientes de Dice e Jaccard), e apresentamos ainda um espaço métrico de similaridade, com uma p-norma definida, e uma métrica induzida. A partir dessa função de distância, construímos um coeficiente capaz de quantificar a performance de diferentes coeficientes de similaridade, quando aplicados sobre um mesmo problema de similaridade. Desse modo, o coeficiente apresentado também é capaz de denotar um ranking de coeficientes de similaridade, do mais adequado ao problema de similaridade em questão, para o menos adequado ao problema. Apresentamos ainda formas funcionais para as medidas estatísticas TP, FP e FN, e provamos que existe uma relação entre similaridade e os resultados de processos de Fourier. Portanto, mostramos que existe uma ponte entre as áreas de similaridade em segmentação de imagens e análise clássica.
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