Estudo e implementação computacional de problemas de otimização topológica 3D

Abstract

The topology optimization is a class of structural optimization problems to obtain a structure that is as rigid as possible, satisfying a constraint on the amount of material available inside a certain domain, and which is subjected to the application of external forces. In other words, the objective is to find the optimal distribution of the material that composing this structure, so that its average compliance is minimized (or, equivalently, its stiffness should be maximized). Initially, topology optimization problems are formulated in a continuous medium, so that at each point in the domain that contains the structure, it must be decide whether or not there will be material. In this case, we have an optimization problem with an infinite number of binary variables. In order to make the problem treatable from a numerical point of view, this continuous medium is replaced by a discrete medium through the application of the Finite Element Method. Thus, we obtain a nonlinear optimization problem with a finite number of variables, which represent the material density in each of the elements of the discretized domain. In this work, we performed a study on the formulation of topological optimization problems of three-dimensional structures (which have many applications in the automotive and aerospace industries), and implemented an optimization’s method denominated Sequential Linear Programming (SLP) to solve these problems. We perform several computational tests that prove the efficiency of this method in the resolution of topological optimization problems.

A otimização topológica é uma classe de problemas de otimização estrutural para obter uma estrutura que seja o mais rígida possível, satisfazendo uma restrição sobre a quantidade de material disponível no interior de um certo domínio, e que esteja submetida à aplicação de forças externas. Em outras palavras, o objetivo é encontrar a distribuição ótima do material que compõe esta estrutura, de tal forma que a sua flexibilidade média seja minimizada (ou, equivalentemente, a sua rigidez deverá ser maximizada). Inicialmente, os problemas de otimização topológica são formulados em um meio contínuo, de modo que, em cada ponto do domínio que conterá a estrutura, deve-se decidir se haverá ou não haverá material. Neste caso, tem-se um problema de otimização com uma quantidade infinita de variáveis binárias. Com o intuito de tornar o problema tratável do ponto de vista numérico, este meio contínuo é substituído por um meio discreto, por meio da aplicação do Método dos Elementos Finitos. Assim, obtêm-se um problema de otimização não linear com um número finito de variáveis, que representam as densidade de material em cada um dos elementos do domínio discretizado. Neste trabalho, realiza-se um estudo sobre a formulação de problemas de otimização topológica de estruturas tridimensionais (que possuem inúmeras aplicações na indústria automotiva e aeroespacial) e sua implementação computacional. Implementa-se um método de otimização denominado Programação Linear Sequencial (PLS) para resolver estes problemas. Realizam-se vários testes computacionais que comprovam a eficiência deste método na resolução dos problemas de otimização topológica.